Tổng quát hóa

Định lý trên có thể tổng quát hóa như sau:

Nếu có k số nguyên tố cùng nhau với n và nhỏ hơn n thì: r 1 ⋅ r 2 ⋅ … ⋅ r k − 1 ⋅ r k ≡ ( − 1 ) k − 1 ( mod n ) {\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}\cdot \ldots \cdot r_{k-1}\cdot r_{k}\equiv (-1)^{k-1}{\pmod {n}}} .

Mở rộng của Gauss

Mở rộng của Carl Friedrich Gauss:

∏ k = 1 ( k , m ) = 1 m k   ≡   {     0 ( mod m ) if  m = 1 − 1 ( mod m ) if  m = 4 , p α , 2 p α     1 ( mod m ) otherwise {\displaystyle \prod _{k=1 \atop (k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv \ \left\{{\begin{matrix}\ \ 0{\pmod {m}}&{\mbox{if }}m=1\\-1{\pmod {m}}&{\mbox{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\ \ 1{\pmod {m}}&{\mbox{otherwise}}\end{matrix}}\right.}

Trong đó p là số nguyên tố lẻ bất kì, α {\displaystyle \alpha } là số nguyên dương bất kì.